ISOMETRI




A.    Pengertian Isometri
Isometri adalah suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).

Teorema 3.1:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Jadi refleksi struktur tubuh kupu-kupu dan manusia terhadap sumbu simetri / sumbu pencerminannya merupakan suatu tranformasi.
Suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarak
Misal:
A = bahu kanan manusia
B = ujung jari tengah tangan kanan manusia
A’ = Ms(A) = bahu kiri manusia
B’ = ujung jari tengah tangan kiri manusia

Jadi jarak antara AB = A’B’ yaitu jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan kanan manusia sama dengan jarak antara bahu dan ujung jari tengah tangan kiri manusia.
Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik-titik P dan Q,
                        P' Q' = PQ
Dengan                 P' = T (P) dan Q' = T (Q)
Transformasi U merupakan Isometri bila dan hanya bila pasangan titik P dan Q dipenuhi P’Q’ =PQ dengan P’ = U (P) dan Q’ = U (Q).
Contoh : pencerminan

                             P                      U(P)                P’



                                    Q                     U(Q)                Q’

Misalkan T suatu transformasi, transformasi T ini disebut isometric jika dan hanya setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid V berlaku  dimana  dan 
 

A.    Sifat-sifat Isometri
Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
a.       Memetakan garis menjadi garis
b.      Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis
c.       Mempertahankan kesejajaran dua garis
Bukti:

a. Memetakan garis menjadi garis
Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa T(g)=h adalah suatu garis juga.











 
                                     B                                                           B’


                   A                                                                                              A’           
                 g                                                                                                    h


Ambil A є g dan B є g. maka A’=T(A) є h, B’=T(B) є h melalui A’ dan B’ ada satu garis. Misalnya h’
Ambil sebarang isometri T dan garis g akan di tunjukan bahwa T(g) berupa sebuah garis. Perhatikan gambar ambil dua titik sebarang A dan B pada garis g misalkan T(A) = A1 dan T(B) = B1 dan garis lurus menghubungkan A1 dan B1 adalah H














 
                                               A                                      A1

B                                                       B1

                              g                                                                        T(g)
Untuk ini akan dibuktikan h’ Ì h dan h Ì h’
Bukti h’ Ì h
Ambil X’ є h’. oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan (A’ X’ B’), artinya A’ X’ + X’ B’= A’ B’. oleh karena T suatu isometric. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometric maka AX=A’X’ ; begitu pula XB=X’B’. jadi pula AX+BX=AB

Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g
Ini berarti lagi bahwa X’=T(X) є h.
Sehingga h’Ì h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X’ dengan (X’ A’ B’) atau (A’ B’ X’)

Bukti h Ì h’
Ada lagi Y’ є h
Maka ada Y є g sehingga T(Y)=Y’ dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y є g dan AY+YB = AB. Oleh karena T sebuah isometric maka A’Y’= AY, Y’B’= AB. Sehingga A’Y’+Y’B’ = A’B’. Ini berarti bahwa A’, Y’, B’ segaris, yaitu garis yang melalui A’ dan B’.


Oleh karena h’ satu-satunya garis yang melalui A’ dan B’ maka Y’ h’.
Jadi haruslah Bukti h Ì h’

Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga h= h’. jadi kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis.

b.    Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis
Isometric mempertahankan besar sudut.
Bila ∆ ABC  A’B’C’
Jawab:

 








Perhatikan ∆ABC dan ∆A’B’C’
Karena U isometric berarti   A’B’=AB
                                             A’C’=AC
                                             B’C’=BC
Karena sisi, sisi, sisi berarti
Akibatnya 
                                                      
                                                           
Jadi isometri mempertahankan besar sudut.          
Ambil sebuah Ð ABC
Andaikan A’= T(A), B’=T(B), C’=T(C)
Menurut (a), maka A’B’ dan B’C’ adalah garis lurus
Oleh karena Ð ABC = BABC maka Ð A’B’C’ = B’A’ È B’C’ sedangkan A’B’ = AB, B’C’ = BC, C’A’ = AC
Sehingga ∆ ABC = ∆ A’B’C’. jadi Ð A’B’C’ = Ð ABC
Sehingga suatu isometri mempertahankan besarnya sebuah sudut.

c. Mempertahankan Kesejajaran
Isometri mempertahankan kesejajaran.


 









Jika g // h→ g’ // h’ dengan g’ = U(g)
                                        h’ = U(h)


Bukti :
Diketahui g // h sejajar
g’ = U(g) dan h’ = U(h)
Andaikan g’ tidak sejajar h’
Berarti ada titik potong P’ = titik (g’, h’)



 



U isometri, maka terdapat P→P’ = U(P)
P’ terletak pada g’ maka haruslah P terletak pada g.
P’ terletak pada h’ maka haruslah P terletak pada h.
Jadi g dan h berpotongan di P, kontradiksi dengan g // h.
Sehingga pengandaian diingkarkan berarti g’ // h’.
Jadi isometri mempertahankan kesejajaran.
                                                                                             





Kita harus memperlihatkan bahwa a’ ⁄⁄ b’
Andaikan a’ memotong b’ disebuah titik P’ jadi P’ є a’ dan P’ є b’. oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T(P) = P’ dengan P є a dan P є b.
Ini berarti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a ⁄⁄ b
Maka Pengandaian bahwa a’ memotong b’ SALAH
Jadi haruslah a’ ⁄⁄ b’

A.    Isometri Langsung dan Isometri Lawan
Suatu Transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi. Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap),Jadi dalam isometric langsung. Apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif.
Sedangakan Transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah arah orientasi. Isometri lawan adalah mengubah orientasi positif jadi negatip (kebalikan).
Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah dengan jarum jam. Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran jarum jam.
Contoh 22.
Misalkan diberikan enam buah titik (lihat gambar 2.4). karena urutna perputaran A, B, ke C berlawanan dengan perputaran jarum lonceng maka (A, B, C) berorientasi positif. Sedangkan urutan perputaran P, Q, ke R sesuai dengan perputaran jarum lonceng akibatnya (P, Q, R) berorientasi negative.

Definisi 2.3
Misalkan T suatu transformasi T disebut mengawetkan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik (P1, P2, P3) yang tidak kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut tidak mengawetkan orientasi.

Contoh 2.3
Apabila anda prhatikan trnasformasi yang ditetapkan dalam contoh 2.1. sudah ditelusuri bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometric. Apakah T ini mrupakan isometric langsung atau isometric lawan ?untuk menarik kesimpulan ini perhatikan gambar 2.5. Mislakan anda ambil tiga titik atk kolinear sembarang. A, B, dan C. kemudian mencari T(A), T(B), dan T(C) = B’ dan T(C) = C’
Karena (A, B, C) berorientasi positif, sedangkan (A`, B`, C`) berorientasi negatif, maka transformasi T merupakan transformasi lawan. Akibatnya T suatu isometri lawan.
Perhatikan gambar di bawah ini, anda melihat suatu transformasi T yang menunjukan segitiga ABC pada segitiga A1B1C1 misalnya sebuah pencerminan pada garis g.

Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut:

Gambar 1 (mengubah orientasi)              
 
Gambar 2 (mengawetkan orientasi)
Tampak bahwa apabila pada segitiga ABC, urutan keliling A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam maka pada petanya, yaitu segitiga A1B1C1, urutan keliling A1→B1→C1 adalah sesuai dengan putaran jarum jam. Pada gambar di atas anda lihat juga suatu isometric, yaitu rotasi (putaran) mengelilingi sebuah titik O.
Jika ada segitiga ABC urutan keliling A→B→C adalah berlawanan arah dengan putaran jarum jam maka pada petanya yaitu pada segitiga A2B2C2 urutan keliling A2→B2→C2 tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.
Definisi:
1)      Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya sama dengan ganda (P’1, P’2, P’3) dengan P’1 = T(P1), P’2 = T(P2), P’3 = T(P3).
2)      Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris (P1, P2, P3) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya (P’1, P’2, P’3) dengan P’ = T(P1), P’2 = T(P2), P’3 = T(P3)
Definisi :
Misalkan ( P, Q, R ) adalah ganda tiga titik yang koliniear (tidak segaris). Apabila urutan perputaran P, Q, R sesuai dengan perputaran jarum jam maka P, Q R di sebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P, Q, R berlawanan dengan arah perputaran jarum jam maka P, Q, R memilki orientasi positif

Definisi :
Misalkan T suatu transformasi. T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik A, B, C yang kolinear orientasinya sama dengan orientasi dari petanya. Sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi.

          Suatu transformasi T yang memetakan segitiga ABC pada segitiga A1,B1,C1 misalkan sebuah pencerminan pada garis g.
v  Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut :
ü  Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometric lawan
Gambar (A B C) Berlawanan arah dengan perputaran jarum jam(memiliki orientasi positif)sedang, Gambar (A1,B1,C1) Sesuai dengan putaran jarum jam (memiliki orientasi yang negative).




ü  Isometri langsung adalah tidak mengubah orientasi (tetap), Jadi dalam isometric langsung apabila orientasi positif tetap positif sedangkan orientasi negative tetap negatif. Perhatikan gambar isometric langsung di bawah ini:




v  Dikatakan berorientasi positif apabila perputarannya berlawanan arah jarum dengan jarum jam.
v  Dikatakan berorientasi negative apabila perputarannya searah dengan perputaran
jarum jam.
ü  Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.

  Contoh soal;

1.      Perhatikan transformasi yang ditetapkan dalam gambar di bawah ini,sudah ditentukan bahwa transformasi T ini merupakan suatu isometri.           Pertanyaan yang timbul apakah T ini merupakan isometric langsung atau isometric lawan?

Penyelesaian: Misalkan ambil tiga titik koliner sebarang, A,B,dan C.
Kemudian kita cari T(A), T(B), dan T(C).
Misalkan : T(A)=A1, T(B)=B1, dan T(C)=C1.
Kerena (A,B,C) berorientasi positif,sedangkan (A1, B1, C1) berorieantasi negatif, maka transformasi T merupakan transformasi lawan.Akibatnya T suatu isometri lawan .

2.      Ditentukan T((x, y)) = (x+1, y-5). Selidiki apakah T isometri.
T((x, y)) → (x, y’) dengan
Ambil titik
Sehingga :
Karena A’B’=AB maka T merupakan isometri.


sumber:

Rawuh, 1993. Geometri Transformasi. Bandung : Perpustakaan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
 

0 komentar:



Posting Komentar