Estimasi titik


ESTIMASI TITIK

A.    Estimasi Titik
Rasional dibalik estimasi titik sangat sederhana. Bila sampling berasal dari populasi yang digambarkan melalui densitas , pengetahuan tentang  menghasilkan karakteristik mengenai keseluruhan populasi. Oleh karenanya sangat masuk akal untuk mencari metode untuk mendapatkan estimator yang baik untuk . Dalam banyak kasus, kita juga mempunyai kepentingan untuk mengestimate fungsi dari , katakanlah ini berarti metode pencarian estimator juga menjadi perhatian kita.
Definisi: Suatu estimator titik adalah sebarang fungsi T(X1,X2,…,Xn) dari sampel. Ini berarti sebarang statistik adalah estimator titik.
            Perhatikan bahwa terdapat perbedaan antara estimate dan estimator. Suatu estimator adalah fungsi sampel,  sedang estimate adalah nilai terealisasi dari estimator yaitu bilangan yang didapat bila sampel benar-benar diambil. Secara otasi, bila sampel diambi, estimator adalah fungsi variable random X1,X2,…,Xn sedang estimate adalah fungsi dari nilai-nilai terealisasi .
            Disimpulkan bahwa estimasi adalah taksiran dan yang diestimasi adalah parameter populasi. Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator. Pada estimasi titik, hasil estimasi adalah satu nilai parameter (sama dengan nilai statistik).
StatistikSampel
Parameter Populasi
 




B.     MetodeMomen
Metode momen yang diciptakan oleh Karl Person pada tahun 1800 adalah metode tertua dalam menentukan estimator titik.
   Misalkan X1,X2,…,Xn adalah sampel populasi dengan densitas  Estimator metode momen dapat didapat dengan menyamakan k momen sampel pertama pada k momen sampel populasi dan menyesuaikan sistem  persamaan simultan yang dihasilkan. Lebih tepatnya, untuk  t=1,…,k definisikan
 


t= 1, 2, 3,..., k
Untuk diskrit :
Untuk kontinu :

Momen populasi  biasanya merupakan fungsi dari  katakanlah ). Estimator metode momen dari ) didapat dengan menyelesaikan sistem ) dalam bentuk ).
                                    )
                                   
                                    )
Contoh 2.1:
MisalkanX1,…,Xn adalah i.i.d binomial (k, p), yaitu,
x= 0, 1, 2,…,k
Disini diandaikan bahwa k dan p kedua-duanya tidak diketahui.
Dengan menyamakan dua momen sampel pertama dan momen populasi didapat sistem persamaan
Yang harus diselesaikan untuk k dan p.
Hasilnya           dan

C.    Metode Maksimum LIKELIHOOD
Metode yang terbaik untuk menentukan penaksiran titik sebuah parameter adalah metode kemungkinan maksimum.
Misalkan X adalah peubah acak kontinu(atau diskrit) dengan fungsi kepadatan peluang , dengan  adalah sebuah parameter yang tidak diketahui.
Misalkan X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak berukuran n maka fungsi kemungkinan (likelihood fuction) dari sampel acak itu adalah:

Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Biasanya untuk memudahkan penganalisisa, fungsi kemungkinan  diberi ln.
Penaksiran kemungkinan maksimum dari  adalah nilai  yang memaksimumkan fungsi kemungkinan

D.    ESTIMATOR BAYES
Misalkan X1, X2,...,Xn merupakan sebuah sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fungsi kepadatan peluangberbentuk f (x ; 𝜽), 𝜽 dalam hal ini, kita akan menentukan taksiran Bayes untuk parameter 𝜽.
Langkah-langkah untuk menentukan taksiran Bayes bagi 𝜽adalah:
1.      Tentukan fungsi kepadatan peluang gabungan dari X1, X2,..., Xn (dinotasikan) dengan g ( ) yang didefinisikan sebagai berikut :
g( ;𝜽) = f (x1 ; 𝜽). f (x2 ; 𝜽), ... f (xn ; 𝜽)

DAFTAR PUSTAKA

Herryanto, Narr. 2003. Statistika Matematis Lanjutan. Bandung: CV. Pustaka Setia
Herryanto, Narr dan Tuti Gantini. 2009. Pengantar Statistika Matematisi. Bandung: CV. Yrama Widya
Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu